Question

已知函数f（x）=

x ex (x≥0) x2+2x(x＜0)

，若函数g（x）=f（x）+k有三个零点，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：利用数形结合的思想，若函数g（x）=f（x）+k有三个零点，也就是f（x）=g（x）-k，即y=-k与f（x）有三个交点，只要求出f（x）的最小值即可．

解答： 解：如图所示，∵f（x）=

x

ex

（x≥0）
∴f′(x)=

1-x

ex

令f′（x）=0，
则x=1，
当0≤x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为单调递减函数，
∴当x=1时，函数f（x）有最大值，最大值为f（1）=

1

e

，
∴-k=

1

e

即k=-

1

e

，
∴k的取值范围是（-

1

e

，0）

点评：本题考查了函数零点的问题，利用数形结合的思想，转化为求函数的最值问题，属于中档题．