Question

6．要使函数y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，-1]时，y＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a＞-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$在x∈（-∞，1]上恒成立．运用指数函数的性质，结合二次函数的值域求法，可得最大值，进而得到a的范围．

解答 解：由题意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$=-（$\frac{1}{2}$）^2x-（$\frac{1}{2}$）^x=-[（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$]²+$\frac{1}{4}$，
当x∈（-∞，-1]时，（$\frac{1}{2}$）^x∈[2，+∞），
-$\frac{1+{2}^{x}}{{4}^{x}}$≤-（2+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=-6，
∴a＞-6．
即a的取值范围是（-6，+∞）．

点评 本题考查指数函数的性质和应用，将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法．