Question

1．设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=3，a₃=a₂²-27．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列{a_n}的公差为d，然后求解a_n．
（2）求出函数y=4sin²πx的最小正周期得到{b_n}首项，利用公比q=2，求出${b_n}={2^{n-1}}$，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\{a_1}+2d={（{a_1}+d）^2}-27\end{array}\right.$，解得d=3或d=-7（舍），…（3分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n． …（5分）
（2）∵$y=4{sin^2}πx=4×\frac{1-cos2πx}{2}=-2cos2πx+2$，
其最小正周期为$\frac{2π}{2π}=1$，故数列{b_n}的首项为1，
∵公比q=2，∴${b_n}={2^{n-1}}$，∴${a_n}{b_n}=3n•{2^{n-1}}$…（7分）
∴${S_n}=3（1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}）$，
令${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，…①，
两边都乘以2得，$2{T}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$…②
②-①得，${T_n}=-（1+2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}）+n•{2^n}$
=$n•{2^n}-\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=n•{2^n}-（{2^n}-1）=（n-1）•{2^n}+1$…（11分）
故，${S_n}=3（n-1）•{2^n}+3$…（12分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的通项公式，数列求和的方法，三角函数的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．