Question

已知函数，其中．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

解：函数定义域为， 且

①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，

令，得，函数的单调递增区间为.

②当，即时，令，得或，

函数的单调递增区间为，.

令，得，函数的单调递减区间为.

③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分

(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.

所以在上的最小值为，

由于，

要使在上有且只有一个零点，

需满足或解得或.

②当时，由(Ⅰ)可知，

（ⅰ）当时，函数在上单调递增；

且，所以在上有且只有一个零点.

（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

又因为，所以当时，总有.

  因为，

所以.

所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，

从而当时，在上有且只有一个零点. 

综上所述，或或时，在上有且只有一个零点.