Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

3

，直线l：y=x+2和圆O：x²+y²=b²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点，作直线m，与O相交于两点R，S，已知△ORS的面积为

3

2

，求直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切得：

2

2

=b，再利用e=

3

3

，可得

a2-2

a2

=

1

3

，求出a，即可得出椭圆C的方程；
（2）设直线m的方程为：y=k（x+

3

）（k≠0），求出圆心O到直线m的距离、直线m与圆O相交的弦长，表示出△ORS的面积，利用△ORS的面积为

3

2

，即可求直线m的方程．

解答： 解：（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切得：

2

2

=b，解得b=

2

，
又e=

3

3

，可得

a2-2

a2

=

1

3

，得a=

3

故椭圆C的方程为：

x2

3

+

y2

2

=1…（5分）
（2）由（1）知：A（-

3

，0），依题意知，直线m的斜率存在且不为0，
设直线m的方程为：y=k（x+

3

）（k≠0），
所以圆心O到直线m的距离d=

| 3 k|

k2+1

，
因为直线m与圆O相交，所以d＜

2

，
即

| 3 k|

k2+1

＜

2

，解得k²＜2且k≠0．
直线m与圆O相交的弦长|RS|=2

r2-d2

=

2 2-k2

k2+1

，
所以S_△ORS=

1

2

|RS|d=

1

2

•

2 2-k2

k2+1

•

| 3 k|

k2+1

=

3

2

，
解得k²=1或k²=

1

5

，均适合k²＜2且k≠0，
所以k=±1或k=±

5

5

，
故直线m的方程为y=±（x+

3

）或y=±

5

5

（x+

3

）．…（13分）

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．