Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

π

3

，∠BAC=x，设f（x）=

AB

•

BC

（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=6mf（x）+1（m≠0），x∈（0，

2π

3

），是否存在实数m，使函数g（x）值域为（1，

3

2

]？若存在请求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（1）△ABC中，AC=1，∠ABC=

π

3

，∠BAC=x，结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．
（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

AC

sin π 3

=

AB

sin( 2π 3 -x)

，
则BC=

sinx

sin π 3

=

2 3

3

sinx，AB=

sin( 2π 3 -x)

sin π 3

=

2 3

3

sin（

2π

3

-x），
∴f（x）=

AB

•

BC

=

4

3

sinxsin（

2π

3

-x）•（-

1

2

）=-

2

3

sinx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）
=-

3

3

sinxcosx-

1

3

sin²x=-

1

3

（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）-

1

6

=-

1

3

sin（2x-

π

6

）-

1

6

（0＜x＜

2π

3

），
（2）g（x）=6mf（x）+1=-2msin（2x-

π

6

）-m+1（0＜x＜

2π

3

），
存在实数m，使函数g（x）值域为（1，

3

2

]，
∵0＜x＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

，即-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，
当m＞0时，g（x）的值域为[1-3m，1）．
又g（x）的值域为（1，

3

2

]，不成立，m无解；
当m＜0时，g（x）的值域为（1，1-3m]，
又g（x）的值域为（1，

3

2

]，则1-3m=

3

2

，解得m=-

1

6

．
∴存在实数m=-

1

6

，使函数f（x）的值域恰为（1，

3

2

]．

点评：本题比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．