Question

已知（1+

x

2

）ⁿ（n∈N^*）展开式中前三项的系数分别为a₀、a₁、a₂，且12a₀a₂=5a₁²．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）根据题意，求出a₀、a₁、a₂，利用12a₀a₂=5a₁²，再求出n的值；
（2）设第r+1项系数最大，列出不等式组，求出r的值，从而求出(1+

x

2

)6展开式中，系数最大的项．

解答： 解：（1）∵（1+

x

2

）ⁿ（n∈N^*）展开式中前三项的系数分别为a₀、a₁、a₂，
∴a₀=1，a₁=

1

2

C

1 n

=

1

2

n，
a₂=(

1

2

)2•

C

2 n

=

1

8

n（n-1）；
又∵12a₀a₂=5a₁²，
∴12×1×

1

8

n（n-1）=5×(

1

2

n)2，
解得，n=6或n=0（舍去），
∴n=6；…..（5分）
（2）设第r+1项系数最大，则有

C r n •( 1 2 )r ≥C r-1 n •( 1 2 )r-1 C r n •( 1 2 )r ≥C r+1 n •( 1 2 )r+1

，
解得

r≤ 7 3 r≥ 4 3

；
又∵r∈N，
∴r=2；…（8分）
当r=2时，上述不等式等号均不成立，
因此只有第三项系数最大，
∴(1+

x

2

)6展开式中，系数最大的项为T₃=

C

2 6

•(

x

2

)2=

15

4

x²．…（10分）

点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是中档题目．