Question

已知函数f（x）=

ax2-lnx+b

x

，且f（1）=0，f′（1）=1．
（Ⅰ）求常数a，b的值；
（Ⅱ）若1≤λ≤2

2

，证明：函数g（x）=f（x）-λlnx（0＜x≤1）的值恒非负．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（I）f′(x)=

ax2-1+lnx-b

x2

．由于f（1）=0，f′（1）=1，可得

a+b=0 a-1-b=1

，解得即可．
（II）g（x）=f（x）-λlnx=

x2-lnx-1

x

-λlnx（0＜x≤1）．g′（x）=

x2-λx+lnx

x2

．令h（x）=x²-λx+lnx（0＜x≤1）．利用导数研究函数h（x）为单调递增函数，
g（x）为单调递减函数即可．

解答： （I）解：f′(x)=

ax2-1+lnx-b

x2

．
∵f（1）=0，f′（1）=1，
∴

a+b=0 a-1-b=1

，解得

a=1 b=-1

．
（II）证明：g（x）=f（x）-λlnx=

x2-lnx-1

x

-λlnx（0＜x≤1）．
∴g′（x）=

x2-λx+lnx

x2

．
令h（x）=x²-λx+lnx（0＜x≤1）．h′（x）=2x-λ+

1

x

．
由于

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时取等号．
∴λ≤2

2

时，h′（x）≥0，此时函数h（x）是增函数．
因此h（x）≤h（1）=1-λ，
由于1≤λ≤2

2

，0＜x≤1，h（x）≤h（1）=1-λ≤0，g′（x）≤0，
故1≤λ≤2

2

，g（x）（0＜x≤1）是减函数，
∴g（x）≥g（1）=0，即1≤λ≤2

2

时，g（x）的值恒非负．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．