题目内容
已知函数f（x）=x-
，
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．
| 1 |
| x |
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-∞，0）上的单调性．
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（-∞，0）上的单调性．
解答：
证明：（Ⅰ）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x+
=-（x-
）=-f（x），
则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x1＜x2＜0，
则f（x1）-f（x2）=x1-
-x2+
=（x1-x2）-
=（x1-x2）（1+
），
∵x1＜x2＜0，
∴x1-x2＜0，1+
＞0，
∴（x1-x2）（1+
）＞0，
即f（x1）-f（x2）＜0，
则f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（-∞，0）上的单调递增．
则f（-x）=-x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
则f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设x1＜x2＜0，
则f（x1）-f（x2）=x1-
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
| 1 |
| x1x2 |
∵x1＜x2＜0，
∴x1-x2＜0，1+
| 1 |
| x1x2 |
∴（x1-x2）（1+
| 1 |
| x1x2 |
即f（x1）-f（x2）＜0，
则f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（-∞，0）上的单调递增．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，综合考查函数性质的应用．
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