Question

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求角A；
（Ⅱ）设

m

=（sinB，cos2B），

n

=（2，1），求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A；
（II）由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

则

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，得
cosA=

1

2

，
由于A为锐角，
则A=

π

3

；     
（II）

m

•

n

=2sinB+cos2B，
=2sinB+1-2sin²B
=-2sin²B+2sinB+1，B∈（0，

2π

3

），
令t=sinB，则t∈（0，1]．
则

m

•

n

=-2t²+2t+1=-2（t-

1

2

）²+

3

2

，t∈（0，1]．
∴t=

1

2

时，

m

•

n

取得最大值

3

2

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．