Question

（1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
（2）已知x＞0，y＞0，证明不等式：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：（1）将所证不等式的左端展开，重新组合，利用基本不等式即可证得结论成立；
（2）利用分析法，要证原不等式成立，只需证明变形后的不等式x²+y²＞

2

3

xy成立即可，利用基本不等式，上式易证，从而证得原不等式成立．

解答： （1）证明：左边=3+(

a

b

+

b

a

)+(

c

b

+

b

c

)+(

a

c

+

c

a

)≥3+2+2+2=9，
∴(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥9…（6分）
（2）证明：（分析法）要证不等式：（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

，
只需证明（x²+y²）³＞（x³+y³）²，
即：x⁶+y⁶+3x²y²（x²+y²）＞x⁶+y⁶+2x³y³，
即：3x²y²（x²+y²）＞2x³y³，
只需证：x²+y²＞

2

3

xy，
∵x²+y²≥2xy＞

2

3

xy成立，
∴（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．                 …（12分）

点评：本题考查不等式的证明，着重考查基本不等式的应用，考查分析法、综合法，考查推理证明能力，属于中档题．