Question

已知函数f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（

π

4

）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（

α

4

）=-

2

5

，α∈（

π

2

，π），求sin（α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数奇偶性的性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）把x=

π

4

代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．
（2）利用f（

α

4

）=-

2

5

和函数的解析式可求得sin

α

2

，进而求得cos

α

2

，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．

解答： 解：（1）f（

π

4

）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=

π

2

．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+

π

2

）=cos2x•（-sin2x）=-

1

2

sin4x，
∴f（

α

4

）=-

1

2

sinα=-

2

5

，
∴sinα=

4

5

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴cosα=

1- 16 25

=-

3

5

，
∴sin（α+

π

3

）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

4-3 3

10

．

点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．