Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁？如何组拼？试证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，求平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值．（改编）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，四棱锥C₁-ABCD．其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC₁=6，由此能求出该几何体的体积．
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，由VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D，推导出所拼图形成立．
（Ⅲ）证法一：设B₁E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB₁，则∠B₁HB为平面AB₁E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角．由此能求出平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值．
（Ⅲ）证法二：以C为原点，CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系，由向量能求出平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．
如右图中的四棱锥C₁-ABCD．其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC₁=6，
故所求体积是V=

1

3

×62×6=72（4分）
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示．
证明：∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D为全等的正方形，
于是VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D，
故所拼图形成立．（4分）
（Ⅲ）证法一：设B₁E，BC的延长线交于点G，连结GA，
在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连结HB₁，则B₁H⊥AG，
故∠B₁HB为平面AB₁E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角．
在Rt△ABG中，AG=

180

，则BH=

6×12

180

=

12

5

，
B1H=

BH2+BB12

=

18

5

，cos∠B1HB=

HB

HB1

=

2

3

，
故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为±

2

3

．（6分）
（Ⅲ）法二：以C为原点，CD、CB、CC₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），
∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B₁（0，6，6），A（6，6，0）．
设向量n=（x，y，z），满足n⊥

EB1

，n⊥

AB1

，
于是

6y+3z=0 -6x+6z=0

，解得

x=z y=- 1 2 z

．
取z=2，得n=（2，-1，2）．又

BB1

=（0，0，6），
cos＜

n

， 

BB1

＞=

n • BB1

| n || BB1 |

=

12

18

=

2

3

故平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为±

2

3

．（6分）

点评：本题考查几何体的直观图的求法，考查并它的体积的求法，考查用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．