Question

设函数f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及区间[0，π]上的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再向上平移

3

2

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）的解析式求得f（x）的最小正周期；令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范围，可得函数的减区间；再根据x∈[0，π]，进一步确定函数的单调递减区间．
（2）由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

，由x∈[0，

π

4

]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，可得函数的减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
再根据x∈[0，π]，可得函数在区间[0，π]上的单调递减区间为[

π

12

，

7π

12

]．
（2）由题意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，
当x∈[0，

π

4

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，由于g（x）是[0，

π

4

]上的增函数，
∴g（x）_max=g（

π

4

）=

3 3

2

．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、及其的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．