Question

18．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的单调区间；
（2）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域（0，+∞）；
（2）求出导数，由导数的几何意义可得$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，运用二次函数的最值求法，即可得到最大值，进而得到a的最小值．

解答 解：（1）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0，
当x＞a，F′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）单调递增，
当0＜x＜a，F′（x）＜0，F（x）在（0，a）单调递减，
则F（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）；
（2）由y′=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0（0＜x≤3），
k=y′|${\;}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，
当x₀=1时，-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀ 取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴a_min=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查化归思想的综合运用，属于中档题．