Question

5．设函数f（x）=ax²-2lnx；
（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到切线的斜率，切点坐标，然后求出切线方程．
（2）求出函数的定义域以及函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性即可．

解答 解  （1）若a=2，函数f（x）=2x²-2lnx，f（1）=2…（1分）
∴f′（x）=4x-$\frac{2}{x}$…（3分）
∴f′（1）=2            …（4分）
∴函数f（x）在点（1，2）处的切线方程是：y-2=2（x-1）…（5分）
即2x-y=0…（6分）
（2）f（x）=ax²-2ln x，其定义域为（0，+∞），
所以f′（x）=2ax-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（{ax}^{2}-1）}{x}$（x＞0）…7分
①当a＞0时，由ax²-1＞0，得x＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$．

由ax²-1＜0，得0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$…（9分）
故当a＞0时，f（x）在区间$（\frac{1}{\sqrt{a}}，+∞）$上单调递增，
在区间$（0，\frac{1}{\sqrt{a}}）$上单调递减…（10分）
②当a≤0时，f′（x）＜0 （x＞0）恒成立．
故当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论以及转化是想的应用．