Question

18．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的$\frac{1}{7}$是较小的两份之和，求最小的一份的量．”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（　　）

• A． 122
• B． 121
• C． 120
• D． 110

Answer 1

分析 假设等差数列的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=100}\\{2{a}_{1}+d=\frac{1}{7}（3{a}_{1}+9d）}\end{array}\right.$，可得a_n=$\frac{55n-45}{6}$．假设100修改为：x，则${a}_{1}^{′}$=$\frac{x}{60}$，可得x=120．

解答 解：假设等差数列的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=100}\\{2{a}_{1}+d=\frac{1}{7}（3{a}_{1}+9d）}\end{array}\right.$，解得a₁=$\frac{5}{3}$，d=$\frac{55}{6}$，
∴a_n=$\frac{5}{3}$+$\frac{55}{6}（n-1）$
=$\frac{55n-45}{6}$．
假设100修改为：x，则${a}_{1}^{′}$=$\frac{x}{60}$，
因此x=120．
此时5个人所得面包数分别为：2，13，24，35，46，57．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．