Question

已知f（x）=e^x-x-m．
（1）x＞0，f（x）＞0恒成立，求m的取值；
（2）当m=-1时，证明

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）x＞0，f（x）＞0恒成立，即为e^x-x-m＞0在x＞0恒成立，即有m＜e^x-x，令y=e^x-x，求出导数，求出y的范围，即可得到m的范围；
（2）要证

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

，即证（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

令g（x）=x-lnx-1，令h（x）=e^x-e²（x-1），运用导数求出最值，即可得到x-lnx≥1①即有1-

x-1

ex

≥1-

1

e2

＞0②两式相乘即可得证．

解答： （1）解：x＞0，f（x）＞0恒成立，即为e^x-x-m＞0在x＞0恒成立，
即有m＜e^x-x，令y=e^x-x，则y′=e^x-1，由于x＞0，则y′＞0，则y在x＞0递增，
即有y＞1，则有m≤1；
（2）证明：要证

x-lnx

ex

•f（x）＞1-

1

e2

，即证（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

令g（x）=x-lnx-1，g′（x）=1-

1

x

，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，则x=1取得最小值0，则x-lnx≥1①
令h（x）=e^x-e²（x-1），h′（x）=e^x-e²，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减，则x=2时取得最小值0，
则e^x-e²（x-1）≥0，即有e^x≥e²（x-1），即为

x-1

ex

≤

1

e2

即有1-

x-1

ex

≥1-

1

e2

＞0②
则①×②，得，（x-lnx）（1-

x-1

ex

）＞1-

1

e2

，
故原不等式得证．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，考查不等式的证明，注意构造函数运用导数求最值，属于中档题．