Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数{a_n-2ⁿ}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n-3n，求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知的等式利用等差数列的定义容易证明数{a_n-2ⁿ}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由b_n=a_n-3n，得到b_n的通项公式，进一步求前n项和T_n．

解答 （Ⅰ）证明：因为a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）．
所以（a_n-2ⁿ）-（a_n-1-2^n-1）=3（n≥2，n∈N^*）．
所以{a_n-2ⁿ}是等差数列；a₁-2¹=2，所以
a_n-2ⁿ=3n-1，所以{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ+3n-1；
（Ⅱ）设b_n=a_n-3n=2ⁿ-1，所以{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n={2}^{n+1}-n-2$．

点评 本题考查了利用定义证明数列为等差数列，从而间接求出{a_n}的通项公式，并且利用了分组求和；属于中档题．