Question

5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，则$\frac{b}{c}$的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Answer 1

分析 利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出$\frac{b}{c}$的值．

解答 解：△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，
∴b×$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=3c×$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$，
即a²=2b²-2c²；
又cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²+bc=0，
∴3c²-b²+bc=0，
即-（$\frac{b}{c}$）²+$\frac{b}{c}$+3=0，
解得$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{-\sqrt{13}+1}{2}$（不合题意，舍去），
即$\frac{b}{c}$的值为$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及余弦定理和一元二次方程的解法问题，属于中档题．