Question

7．将函数y=sinx图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再将横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}$（ω＞0），纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，若函数y=f（x）的图象在（0，$\frac{π}{2}$）上有且仅有一个对称中心，则ω的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
• B． （$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 根据函数图象平移变换，写出函数y=f（x）的解析式；再由函数y=f（x）的图象在（0，$\frac{π}{2}$）上有且仅有一个对称中心，列出不等式组求出ω的取值范围即可．

解答 解：将函数y=sinx图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象，
再将横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}$（ω＞0），纵坐标不变，得y=f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的图象；
又函数y=f（x）的图象在（0，$\frac{π}{2}$）上有且仅有一个对称中心，
由x∈（0，$\frac{π}{2}$），得ωx∈（0，$\frac{π}{2}$ω），ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{4}$）；
所以π＜$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{4}$≤2π，
解得ω的取值范围是$\frac{3}{2}$＜ω≤$\frac{7}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数图象平移与变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．