Question

2．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，点E、F、H分别是线段PB、AC、PA的中点．
（1）求证：EF∥平面APD；
（2）求异面直线HF与CD的夹角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于F，推导出EF∥PD，由此能证明EF∥平面APD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线HF与CD的夹角的正切．

解答 证明：（1）正方形ABCD中，连结AC、BD，交于F，
∵点E、F、H分别是线段PB、AC、PA的中点，
∴EF∥PD，
∵EF?平面APD，PD?平面APD，
∴EF∥平面APD．
解：（2）∵点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，点E、F、H分别是线段PB、AC、PA的中点，
∴C（2，2，0），D（0，2，0），H（0，0，1），F（1，1，0），
$\overrightarrow{HF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
设异面直线HF与CD的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{HF}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{HF}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$．
∴异面直线HF与CD的夹角的正切为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的正切的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．