Question

13．已知函数f（x）=ax³+bx²+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据合适的单调性求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²+x，得：f′（x）=3ax²+2bx+1，
又f（1）=0，f′（1）=0，解得：a=1，b=-2，
所以f（x）=x³-2x²+x，
f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值$\frac{4}{27}$	单调递减	极小值0	单调递增

∴x=$\frac{1}{3}$时，f（x）有极大值，且极大值为f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
当x=1，f（x）有极小值，且极小值为f（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．