Question

1．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （2，3）
• B． $（\root{3}{3}，2）$
• C． $（\root{3}{4}，2）$
• D． $（\root{3}{2}，3）$

Answer 1

分析 根据题意f（x-2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，可以做出在区间（-2，6]的图象，方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即f（x）的图象与y=log_a（x+2）的图象恰有3个不同的交点．可得答案．

解答 解：由题意f（x-2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），
周期T=4，当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴可得（-2，6]的图象如下：
从图可看出，要使f（x）的图象与y=log_a（x+2）的图象恰有3个不同的交点，
则需满足$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}（2+2）＜3}\\{lo{g}_{a}（6+2）＞3}\end{array}\right.$，
解得：$\root{3}{4}＜a＜2$．
故选C．

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大