Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，且A在平面α上，B、C在平面α的同侧，M为BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的△AB′C′，则AM与平面α所成角的正弦值的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，1）
• B． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，$\frac{\sqrt{14}}{4}$]
• D． [$\frac{\sqrt{42}}{7}$，$\frac{\sqrt{14}}{4}$）

Answer 1

分析 推导出线段AM=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，设B，C到平面α距离分别为a，b，则M到平面α距离为h=$\frac{a+b}{2}$，推导出ab=3，sinα=$\frac{h}{AM}$=$\frac{a+b}{\sqrt{14}}$，由此能求出AM与平面α所成角的正弦值的取值范围．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，且A在平面α上，
B、C在平面α的同侧，M为BC的中点，
∴线段AM=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
设B，C到平面α距离分别为a，b，
则M到平面α距离为h=$\frac{a+b}{2}$，
射影三角形两直角边的平方分别为4-a²，4-b²，
设线段BC射影长为c，则4-a²+4-b²=c²，
又线段AM射影长为$\frac{c}{2}$，①
∴（$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{a+b}{2}$）²=AM²=$\frac{7}{2}$，②
由①②联立解得 ab=3，
所以sinα=$\frac{h}{AM}$=$\frac{a+b}{\sqrt{14}}$≥$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{14}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
当a=b=$\frac{3}{2}$时等号成立．
当面ABC与面α垂直时，sinα=1．
故选：B．

点评 本题考查线面角的正弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．