Question

已知a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且（a-b）（sinA+sinB）=（sinA-sinC）c，若△ABC面积的最大值为 

3

4

，则a=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形,不等式的解法及应用

分析：运用正弦定理将角化为边，再由余弦定理，可得cosB，进而得到sinB，再由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到最大值，运用等号成立的条件，即可得到a．

解答： 解：由正弦定理，得
（a-b）（sinA+sinB）=（sinA-sinC）c即为
（a-b）（a+b）=c（a-c），
即a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，可得，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
即有sinB=

3

2

，
由于a²+c²≥2ac，当且仅当a=c取得等号．
则ac≤b²，
由于△ABC面积的最大值为

3

4

，
则有

1

2

acsinB≤

1

2

b²×

3

2

=

3

4

b²，
即有b=1，则a=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形的面积公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．