Question

【题目】已知函数， .

(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.

(2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。

①求实数a的取值范围；

②证明： .

Answer 1

【答案】（1）或.（2）①②见解析

【解析】试题分析：（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别式为零得斜率（2）①先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件②构造函数， ，利用导数易得函数单调递增，即得结论

试题解析：解:(1)解法一 设经过点的切线与曲线相切于点，

由得，

所以该切线方程为，

因为该切线经过，

所以，解得，

所以切线方程为或.

解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在，

设所求的切线方程为，

由 ，得，

因为切线与抛物线相切，

所以，解得，

所以所求的切线方程为或.

（2）①由，得.

设，

则，

由题意得函数恰好有两个零点.

（i）当，则，

只有一个零点1．

（ii）当时，由得，由得，

即在上为减函数，在上为增函数，

而，

所以在上有唯一零点，且该零点在上.

取且，

则

所以在上有唯一零点，且该零点在上，

所以恰好有两个零点.

（iii）当时，由得，

若， ，

所以在上至多有一个零点.

若，则，

当时， ，即在上单调递减．

又，所以在上至多有一个零点.

当时， 在上单调递增，在上为减函数，

又，

所以h(x)在上无零点.

若，则，

又当时， ，

所以不存在零点．

在上无零点

故当时， ；当时， ．

因此在上单调递增，在上单调递减．

又。

所以在无零点，在至多有一个零点．

综上， 的取值范围为．

②不妨设，

由①知， ，且， 在单调递减，

所以等价于，即．

由于，

且，

所以．

设，

则，

当时， ，所以.

而，故当时， ．

从而，故．