题目内容
【题目】设函数.
(1)若对定义域内的任意,都有
成立,求实数
的值;
(2)若函数的定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)若,证明对任意的正整数
,
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由,得
的定义域为
,因为对
,都有
成立,所以
是函数
的最小值,所以
,即可求解
的值;(2)由
,函数
在定义域上单调函数,知
或
在
上恒成立,由此能求出实数
的取值范围;(3)当
时,函数
,令
,
则,由此入手能够证明
.
试题解析:(1)由,得
.∴
的定义域为
.
因为对x∈,都有
,∴
是函数
的最小值,故有
.
解得
.
经检验,时,
在
上单调减,在
上单调增.
为最小值.故得证.
(2)∵又函数
在定义域上是单调函数,
∴或
在
上恒成立.
若,则
在
上恒成立,
即=
恒成立,由此得
;
若,则
在
上恒成立,
即=
恒成立.
因在
上没有最小值,∴不存在实数
使
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
(3)当时,函数
.
令,
则.
当时,
,所以函数
在
上单调递减.
又,
当
时,恒有
,即
恒成立.
故当时,有
.
而,
.取
,则有
.
.所以结论成立.
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