题目内容
【题目】已知数列,其前
项和为
.
(1)若对任意的,
,
,
组成公差为4的等差数列,且
,求
;
(2)若数列是公比为
(
)的等比数列,
为常数,
求证:数列为等比数列的充要条件为
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意,可求得,
(
),从而得
,
,
,……,
,
是公差为4的等差数列,且
,于是可求
;
(2)由 ,可求得
,
,两式相减得
,若
,可证得数列
为等比数列,(充分性);若数列
为等比数列,可证得
,(必要性).
试题解析:(1)因为,
,
成公差为4的等差数列,
所以,
(
),
所以,
,
,……,
,
是公差为4的等差数列,且
,
又因为,所以
(2)因为,所以
,①
所以,②
②-①,得,③
(i)充分性:因为,所以
,
,
,代入③式,得
,因为
,又
,
所以,
,所以
为等比数列,
(ii)必要性:设的公比为
,则由③得
,
整理得,
此式为关于的恒等式,若
,则左边=0,右边=-1,矛盾:
若,当且仅当
时成立,所以
.
由(i)、(ii)可知,数列为等比数列的充要条件
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有
人,设
,求
的分布列及数学期望.