题目内容
【题目】以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数
,存在一个正数M,使得函数
的值域包含于区间
.例如,当
时,
. 现有如下命题:
①设函数的定义域为D,则“
”的充要条件是“
”;
②若函数,则
有最大值和最小值;
③若函数的定义域相同,且
,则
;
④若函数有最大值,则
.
其中的真命题有___________. (写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】①充分性: 即表示
的值域为R,所以在定义域内能够找到点使得函数值为R内一点;必要性:在定义域内能找到点使函数值为R上任一点,说明函数值域为R,所以满足充要条件,①正确;②充分性:
表示
有界,不能推出有最大值与最小值;
有最大值与最小值表示
有界,可以推出
,所以为必要不充分条件,②错误;③
即表示
的值域为R,
表示
有界,有界函数加上无界函数为无界函数,所以
,则③正确;④因为
无界,所以
有最大值说明a=0,
有界,所以
,则④正确.故本题正确答案为:①③④
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