Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）函数存在零点问题，要研究函数的变化趋势，从函数解析式可看出时， ，因此函数必有负值，求出其导数，可对

其中的求导后确定其单调性及零点，从而确定的正负得的极小值，由极小值小于0可得结论；

（Ⅱ）恒成立，即的最小值，由导数的性质可得有最小值，只是最小值点不能直接确定，可设为，由得，这样最小值中参数可用替换为，由得， ，右边作为一个函数可由导数求得其最大值，即得的最小值．

试题解析：

（Ⅰ）由题意，得.

所以

.

设，由于在上单调递增，且，

当时， ，所以在(0,1)上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

当时， .

因为函数存在零点，且时， ，

所以，解得，即实数的取值范围为.

（Ⅱ）由题意，得

因为，令，得.

设，由于在上单递增，

当时， ；当时， ，

所以存在唯一，使得，即 .

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

当时，

.

因为恒成立，

所以，即 .

.

设，

则

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

当时， .

所以当，即时，

.