Question

13．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=2$，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数）
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依据极坐标和直角坐标的互化公式，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把曲线C参数方程化为普通方程的方法，再根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，求得曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由于直线l的极坐标方程为：$\sqrt{2}ρsin（θ-\frac{π}{4}）=2$，即 ρsinθ-ρcosθ=2，
化为直角坐标方程为 y=x+2．
（Ⅱ）由于曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），
化为普通方程为 （x-2）²+y²=4，表示以（2，0）为圆心、半径等于2的圆，
求得圆心（2，0）到直线l的距离d=$\frac{|2-0+2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
曲线C上的点到直线l的距离的最大值为 ${d_{max}}=2+2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．