Question

8．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ab=8，a+b=6，$\frac{{acos{B}+bcos{A}}}{c}=2cosC$，则c=（　　）

• A． 2$\sqrt{7}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由余弦定理，计算即可得到c的值．

解答 解：∵$\frac{{acos{B}+bcos{A}}}{c}=2cosC$，
∴由正弦定理可得：$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{sinAcosB+sinBcosA}{sinC}$=$\frac{sin（A+B）}{sin（A+B）}$=1，
∴即有2cosC=1，可得C=60°，
∵ab=8，
又∵a+b=6，
∴由c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-ab=（a+b）²-3ab=6²-3×8=12，
∴解得c=2$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．