Question

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a，b∈R），且F（x）=f（x）+3ax²+2x+b为奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=log_m

f(x)

x2

（m＞0，m≠1），h（x）=

x2

f(x)

-1，当x∈（0，1]时，记g（x）的值域为集合A，h（x）的值域为集合B，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义求系数；
（2）由（1）分别求出集合A，B，利用集合间的关系求参数m范围．

解答： 解：（1）因为f（x）=ax³+x²+bx（a，b∈R），且F（x）=f（x）+3ax²+2x+b为奇函数，
所以F（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b为奇函数，F（0）=0得b=0，
再由F（-x）=-F（x）得a（-x）³+（3a+1）x²-（b+2）x=-ax³-（3a+1）x²-（b+2）x，
所以3a+1=0，a=-

1

3

；
所以f（x）的表达式为f（x）=-

1

3

x³+x²．
（2）由（1）得g（x）=log_m

f(x)

x2

=log_m（-

1

3

x+1），（m＞0，m≠1），

2

3

≤-

1

3

x+1＜1，
记g（x）的值域为集合A，
h（x）=

x2

f(x)

-1=

x

3-x

=-1-

3

x-3

，h（x）在x∈（0，1]时为增函数，
所以h（x）的值域为集合B，则B=（0，

1

2

]；
若A⊆B，所以0＜m＜1，所以A=（0，log_m

2

3

]，所以log_m

2

3

≤

1

2

，解得m≤

4

9

；
所以使A⊆B成立的实数m的取值范围为0＜m≤

4

9

．

点评：本题考查了函数解析式的求法以及函数值域的求法，属于中档题．