Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

1

16

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得c=1，1=

3

2

•

2b

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐标满足方程组

y=kx+m，① x2 4 + y2 3 =1，②

，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．由此利用根的判别式、根与系数的关系，结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，
∴c=1，设M、N为短轴的两个三等分点，F为焦点，
∵△MNF为正三角形，
∴|OF|=

3

2

|MN|，
即1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

．
a²=b²+1=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐标满足方程组

y=kx+m，① x2 4 + y2 3 =1，②

，
将①式代入②式，得3x²+4（kx+m）²=12，
整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有两个不等实根，
于是△=（8km）²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0．
整理得4k²-m²+3＞0…③，
由根与系数的关系，
知线段AB的中点坐标（x₀，y₀）满足x₀=

x1+x2

2

=

-4km

4k2+3

，
y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

．
从而线段AB的垂直平分线方程为y-

3m

4k2+3

=-

1

k

(x+

4km

4k2+3

)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(

-km

4k2+3

，0)，(0，

-m

4k2+3

)．
由题设得

1

2

|

-km

4k2+3

|•|

-m

4k2+3

|=

1

16

．
整理得m²=

(4k2+3)2

8|k|

，k≠0．
将上式代入③式得4k²-

(4k2+3)2

8|k|

+3＞0，
整理得（4k²+3）（4k²-8|k|+3）＜0，k≠0．
解得

1

2

＜|k|＜

3

2

．
∴k的取值范围是(-

3

2

，-

1

2

)∪(

1

2

，

3

2

)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．