Question

已知点A（-

2

，0），B（

2

，0），且动点P满足|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹与直线y=k（x-2）有两个交点的充要条件为k∈

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用双曲线的定义判断P的轨迹为A，B为焦点的双曲线的右支，求出方程，联立直线方程，消去y，得到二次方程，由条件可得该方程有两个正根，运用韦达定理和判别式，解不等式即可得到范围．

解答： 解：由点A（-

2

，0），B（

2

，0），则|AB|=2

2

，
动点P满足|PA|-|PB|=2＜2

2

，
则由双曲线的定义，可得P的轨迹为A，B为焦点的双曲线的右支，
且有c=

2

，a=1，b=

c2-a2

=1，
方程为x²-y²=1（x＞0），
联立直线y=k（x-2），得到（1-k²）x²+4k²x-4k²-1=0，
由于动点P的轨迹与直线y=k（x-2）有两个交点，
则该方程有两个正根．
设交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
判别式16k⁴+4（1-k²）（1+4k²）＞0，即为1+3k²＞0成立，
x₁+x₂=

-4k2

1-k2

＞0，x₁x₂=

-4k2-1

1-k2

＞0，
则由1-k²＜0，解得，k＞1或k＜-1．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查双曲线的定义和方程，考查直线和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题和易错题．