Question

已知：函数f（x）=sinx-cos²x+a．
（1）求函数f（x）的最值；
（2）当a为何值时，方程f（x）=0在区间[0，2π）有两解？
（3）求函数f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式得到f（x）═(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，然后，结合sinx∈[-1，1]进行求解；
（2）换元法，得到t²+t+a-1=0在区间（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，从而有

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，然后，求解即可；
（3）结合三角函数的单调性求解单调区间即可．

解答： 解（1）由f（x）=sinx-cos²x+a=sinx-（1-sin²x）+a=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
∵sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=1时f（x）_max=1+a，
当sinx=-

1

2

时f(x)min=a-

5

4

∴函数f（x）的最大值为a+1，最小值为a-

5

4

．
（2）由f（x）=0，
∴sinx-cos²x+a=0，
∴sinx-（1-sin²x）+a=0，
令t=sinx，∵x∈[0，2π），
∴t∈[-1，1]，
要使方程f（x）=0在区间[0，2π）有两解，
有t²+t+a-1=0在区间（-1，1）上有一解令g（t）=t²+t+a-1，
∴

g(1)＞0 g(-1)＜0

或△=0，
∴a∈（-1，1）或a=

5

4

∴a的取值范围是(-1，1)∪{

5

4

}．
（3）由f（x）=sinx-cos²x+a
=sinx-（1-sin²x）+a
=(sinx+

1

2

)2-

5

4

+a，
令t=sinx，
∵x∈[0，2π]，
∴t∈[-1，1]，
∴y=(t+

1

2

)2-

5

4

+a在[-1，-

1

2

]上单调递减，在[-

1

2

，1]上单调递增
当t∈[-1，-

1

2

]时，
x∈[

7π

6

，

11π

6

]，
而t=sinx在[

7π

6

，

3π

2

]上单调递减，在[

3π

2

，

11π

6

]上单调递增，
所以当x∈[

7π

6

，

3π

2

]时f（x）单调递增，
当t∈[-

1

2

，1]时，
x∈[0，

7π

6

]∪[

11π

6

，2π] 而t=sinx在x∈[0，

π

2

]，x∈[

11π

6

，2π]时单调递增，
∴f（x）在[0，

π

2

]，[

11π

6

，2π]上单调递增．
综上函数f（x）在区间[0，2π]上的单调递增区间为[0，

π

2

]，[

7π

6

，

3π

2

]，[

11π

6

，2π]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，属于中档题．