Question

18．设函数 f（x）=|3x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＜0
（2）若f（x）+4|x-4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）根据题意，|x+1|+|x-4|＞$\frac{m}{3}$恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-4|≥5，可得5＞$\frac{m}{3}$，由此求得m的范围．

解答 解：（1）∵函数 f（x）=|3x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-5，x＜-\frac{1}{3}}\\{4x-3，-\frac{1}{3}≤x≤4}\\{2x+5，x＞4}\end{array}\right.$，由不等式f（x）＜0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{3}}\\{-2x-5＜0}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}≤x≤4}\\{4x-3＜0}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{2+5＜0}\end{array}\right.$．
解①求得-$\frac{5}{2}$＜x＜-$\frac{1}{3}$，解②求得-$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{3}{4}$，解③求得x∈∅．
综上可得，不等式的解集为{x|-$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{3}{4}$}．
（2）f（x）+4|x-4|＞m对一切实数x均成立，
即|3x+1|-|x-4|+4|x-4|＞m恒成立，即|x+1|+|x-4|＞$\frac{m}{3}$恒成立．
∵|x+1|+|x-4|≥|x+1-（x-4）|=5，∴5＞$\frac{m}{3}$，即m＜15，
故要求的实数m的取值范围为（-∞，15）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，解绝对值不等式，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．