Question

18．下列命题中，正确的是（　　）

• A． 存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀
• B． “lna＞lnb”是“10^a＞10^b”的充要条件
• C． 若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠$\frac{π}{6}$
• D． 若函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3

Answer 1

分析 A．根据特称命题的定义进行判断．
B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
C．根据三角函数的定义进行判断．
D．根据函数极值的性质建立方程进行求解．

解答 解：设f（x）=x-sinx，当x＞0时，f′（x）=1-cosx≥0，则函数此时为增函数，即f（x）≥f（0）=0，即x＞sinx成立，故A错误，
由lna＞lnb得a＞b＞0，由10^a＞10^b得a＞b，故“lna＞lnb”是“10^a＞10^b”的充分不必要条件，故B错误，
当a=$\frac{π}{6}$时，sinα=$\frac{1}{2}$，成立，即若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠$\frac{π}{6}$的等价条件为真命题，则若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠$\frac{π}{6}$成立，故C正确，
函数的导数f′（x）=3x²+6ax+b，
∵在x=-1有极值0，∴f′（-1）=0，且f（0）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，故D错误，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，充分条件和必要条件的判断，函数的性质与导数的关系，涉及的知识点较多．