Question

10．（1）已知tanα=2，求$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$的值．
（2）已知$sinα+cosα=\sqrt{2}$，求$tanα+\frac{1}{tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）本题中已知tanα=2，由于$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$可以通过分子分母同除以cosα，将其变为用tanα表示，从而求出分式的值，故先用同角函数基本关系中的商数关系进行恒等变形，再代入值求分式的值；
（2）由已知中sinα+cosα=$\sqrt{2}$，两边平方后，根据sin²α+cos²α=1，可求出sinα•cosα=$\frac{1}{2}$，将tanα+cotα切化弦并通分后，结合sinα•cosα=$\frac{1}{2}$，即可得到答案．

解答 解：（1）由已知易知cosα≠0，
所以原式分子分母同时除以cosα，得$\frac{3sinα-2cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{3tanα-2}{tanα+1}$=$\frac{3×2-2}{2+1}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=2，
∴sinα•cosα=$\frac{1}{2}$
∴tanα+cotα
=$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{sinαcosα}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$
=2．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，解题的关键是根据题设中分式的形式选择合适的公式进行恒等变形求值，此类齐次式，一般是通过分子分母同时除以余弦的方式将关于弦的分式变为关于切的分式．本题考查了转化化归的能力及观察的能力，利用三角公式进行运算的能力，利用公式计算是三角中的重要技能，要熟练掌握公式，灵活运用公式．