题目内容
8．已知数列{an}中，an≠0，a1=1．且an•an+1=2（an-an+1）（1）求数列{an}的通项an；
（2）证明：对一切正整数n，有a1+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$…+$\frac{{a}_{n}}{n}$＜2成立．
分析 （1）由条件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．
解答 解：（1）由an•an+1=2（an-an+1），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
即有an=$\frac{2}{n+1}$；
（2）证明：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有a1+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．
点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．
| A． | 存在x0＞0，使得x0＜sinx0 | |
| B． | “lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件 | |
| C． | 若sinα≠$\frac{1}{2}$，则α≠$\frac{π}{6}$ | |
| D． | 若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3 |
如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{A{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=0，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ | B． | $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$ | C． | $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ | D． | $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ |
如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．