Question

18．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（Ⅱ）a≤lnx+$\frac{1}{x}$（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，则a≤g（x）_min（x≥1）恒成立；根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
（Ⅲ）问题转化为y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
故f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，
当x≥1时，f（x）≥ax-1恒成立
?xlnx≥ax-1（x≥1）恒成立
?a≤lnx+$\frac{1}{x}$（x≥1）恒成立，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，则a≤g（x）_min（x≥1）恒成立；
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴当x≥1时，f′（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为（-∞，1]．
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，
即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，
由（Ⅰ）0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f（x）＜0，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
故-$\frac{1}{e}$＜b＜0时，满足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，
即若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，则-$\frac{1}{e}$＜b＜0．

点评 本题考查函数恒成立问题，分离参数a是关键，考查等价转化思想与构造函数思想，考查导数法判定函数单调性的应用及运算求解能力，属于中档题．