Question

7．已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=6，则该三棱锥的外接球的体积是（　　）

• A． 48π
• B． 32$\sqrt{3}$π
• C． 18$\sqrt{3}$π
• D． 8$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 过△ABC的中心作平面ABC的垂线，利用勾股定理计算球的半径，即可得出球的体积．

解答 解：设D为△ABC的中心，O为外接球的球心，E为PA的中点．
则OD⊥平面ABC，OA=OP，
从而OE⊥PA，OD∥PA，
因为AB=BC=CA=3，则AD=$\frac{2}{3}$×AB×sin 60°=$\sqrt{3}$．
∵PA=6，则OD=EA=3．所以OA=$\sqrt{A{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
三棱锥的外接球的体积V=$\frac{4}{3}$π×OA³=32$\sqrt{3}$π，
故选B．

点评 本题考查了球与棱锥的位置关系，几何体的体积计算，属于中档题．