Question

10．在△ABC中，$a=2\sqrt{3}$，b=3，$cosA=-\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求sinB；
（Ⅱ）设BC的中点为D，求中线AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{sinB}$即可
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA⇒c=1，或c=-3（舍去），在△ADB中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•DBcosB=2即可．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$cosA=-\frac{1}{3}$．可得sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{sinB}$，
∴$sinB=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）∵D是BC的中点，∴$DB=\sqrt{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA⇒c=1，或c=-3（舍去），
在△ADB中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•DBcosB=2，
∴AD=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．