Question

9．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α的最大值与最小值之和为-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，可得a的值，即得到f（x）的解析式．
（Ⅱ）函数f（x）≥0，结合三角函数的图象和性质，求解即可．

解答 解：函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x+α．
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$+a
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2+a
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2+a．
（Ⅰ）∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值为1，最小值为-1．
∴4+2a=-2，
则 a=-3．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅱ）函数f（x）≥0，即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1≥0．
得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$．
∴$\frac{π}{6}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}+2kπ$．k∈Z．
解得：kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得使得函数f（x）≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．