Question

17．如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ．

Answer 1

分析 （1）由条件可得EF∥CD∥AB，利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面PAB．同理可证，EG∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB．再利用两个平面平行的性质可得AP∥平面EFG．
（2）由条件可得DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，AD⊥PC．再由EQ平行且等于$\frac{1}{2}$BC可得EQ平行且等于$\frac{1}{2}$AD，故ADEQ为梯形．再根据DE为等腰直角三角形PCD 斜边上的中线，可得DE⊥PC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得PC⊥平面ADQ．

解答 解：（1）证明：E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，
可得EF∥CD∥AB．
由于AB?平面PAB，EF不在平面 PAB内，故有 EF∥平面PAB．
同理可证，EG∥平面PAB．
由于EF、EG是平面EFG内的两条相交直线，
故有平面EFG∥平面PAB．
而PA?平面PAB，∴AP∥平面EFG．
（2）由条件可得，CD⊥AD，CD⊥PD，
而PD、AD是两条相交直线，故CD⊥平面PAD，
∴∠PDA 为二面角PCD-CD-ABCD的平面角．
再由平面PCD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，故DA、DP、DC互相垂直，故AD⊥平面PCD，
而PC?平面PCD，故有AD⊥PC．
∵点Q是线段PB的中点，∴EQ平行且等于$\frac{1}{2}$BC，∴EQ平行且等于$\frac{1}{2}$AD，故四边形ADEQ为梯形．
再由AD=DC=PD=2，可得DE为等腰直角三角形PCD 斜边上的中线，∴DE⊥PC．
这样，PC垂直于平面ADQ中的两条相交直线AD、DE，∴PC⊥平面ADQ．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．