Question

10．已知函数f（x）=-x²+2ax+3a²．
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜-5的解集；
（2）若f（x）＞0对任意实数x∈[-1，1]都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求a=-1时一元二次不等式f（x）＜-5的解集即可；
（2）【方法一】根据题意，结合二次函数的图象与性质，
不等式恒成立化为f（x）_min＞0，x∈[-1，1]，即$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1-2a+{3a}^{2}＞0①}\\{f（1）=-1+2a+{3a}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
求出解集即可．
【方法二】解不等式f（x）＞0，讨论①a＞0和②a＜0时，
写出不等式的解集A，根据A?[-1，1]求出a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+2ax+3a²，
当a=-1时，不等式f（x）＜-5化为-x²-2x+3＜-5，
即x²+2x-8＞0；
由x²+2x-8=0的两根为x=-4和x=2，
且对应二次函数开口向上，
所以解不等式得x＜-4或x＞2，
所以不等式f（x）＜-5的解集是{x|x＜-4或x＞2}；
（2）【方法一】若f（x）＞0对任意实数x∈[-1，1]都成立，
即f（x）_min＞0，x∈[-1，1]；
由二次函数的性质知，关于x的二次函数f（x）=-x²+2ax+3a²
在[-1，1]上的最小值为f（x）_min=min{f（-1），f（1）}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1-2a+{3a}^{2}＞0①}\\{f（1）=-1+2a+{3a}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
解①得a＜-$\frac{1}{3}$，或a＞1；
解②得a＜-1，或a＞$\frac{1}{3}$；
所以实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
【方法二】f（x）＞0即-x²+2ax+3a²＞0，整理得x²-2ax-3a²＜0，
关于x的一元二次方程x²+2ax-3a²=0的两根为x=-a或x=3a；
①当a＞0时，有-a≤3a，故不等式x²-2ax-3a²＜0的解集为{x|-a＜x＜3a}，
此时由{x|-a＜x＜3a}?[-1，1]得$\left\{\begin{array}{l}{-a＜-1}\\{3a＞1}\end{array}\right.$，解得a＞1；
②当a＜0时，有-a＞3a，故不等式x²-2ax-3a²＜0的解集为{x|3a＜x＜-a}，
此时由{x|3a＜x＜-a}?[-1，1]得$\left\{\begin{array}{l}{3a＜-1}\\{-a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜-1；
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次不等式的解法，函数的最值等知识，也考查了推理论证与运算求解能力，其中（1）是容易题，（2）是中档题．