Question

15．在等差数列{a_n}中，a₁=50，S₉=S₁₇，求前n项的和S_n的最大值．

Answer 1

分析 根据等差数列的性质化简S₁₇=S₉，再利用等差数列的通项公式化简，用含a₁的式子表示出d，把a₁的值代入即可求出d的值，然后由a₁和d的值写出等差数列的通项公式，进而表示出等差数列的前n项和为关于n的二次函数，配方后即可求出S_n的最大值．

解答 解：由S₁₇=S₉，
得到$\frac{17（{a}_{1}+{a}_{17}）}{2}$=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$，
即17（2a₁+16d）=9（2a₁+8d），又a₁=50，
解得：d=-$\frac{2{a}_{1}}{25}$=-4，
所以a_n=a₁+（n-1）d=-4n+54，
则S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（-4n+54）}{2}$=-2n²+27n=-2（n-$\frac{27}{4}$）²+$\frac{729}{8}$，
因为n是正整数，
所以当n=7时，S_nmax=91．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题．