Question

5．已知曲线C极坐标方程为2ρsinθ+ρcosρ=10曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$ （α为参数）．
（1 ）曲线C₁的普通方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{3}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²α=1可得曲线C₁的普通方程；
（2）曲线C的普通方程是：x+2y-10=0，设点M（3coxα，2sinα），由点到直线的距离公式得：$d=\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$，进而可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{3}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
代入cos²α+sin²α=1得：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）曲线C的普通方程是：x+2y-10=0，
设点M（3coxα，2sinα），由点到直线的距离公式得：
$d=\frac{|3cosα+4sinα-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$|5cos（α-φ）-10|$；\\;\\;\\;cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$  其中sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$，
当α-φ=0时，d_min=$\sqrt{5}$，此时M点的坐标（$\frac{9}{5}，\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查的知识点是椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，直线与椭圆的位置关系，难度中档．