Question

20．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$．
（1）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）任取1≤x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．
（2）由（1）可得：x=1时，f（x）取得最小值f（1）；x=4时，f（x）取得最大值f（4）．

解答 （1）证明：任取1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}$-$（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）解：由（1）可得：x=1时，f（x）取得最小值f（1）=2；
x=4时，f（x）取得最大值f（4）=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性定义及其证明、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．